線形代数例

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 & - 4 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) ((- 4 - λ) (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 - λ) (- 4 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.2

$4 λ$ と $4 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1) + 0$

ステップ 5.4.2.2

$16$ から $1$ を引きます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

ステップ 5.4.2.3

$8 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$0$ と $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ をたし算します。

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

ステップ 5.5.1.2

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$

ステップ 5.5.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ を展開します。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 6 (8 λ) - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$8$ に $- 6$ をかけます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.2

$- 6$ に $15$ をかけます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{2 + 1} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.6

$- 1$ に $8$ をかけます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

ステップ 5.5.3.7

$15$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - 15 λ$

ステップ 5.5.4

$- 6 λ^{2}$ から $8 λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 15 λ$

ステップ 5.5.5

$- 48 λ$ から $15 λ$ を引きます。

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 - λ^{3}$

ステップ 5.5.6

$- 90$ を移動させます。

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - λ^{3} - 90$

ステップ 5.5.7

$- 63 λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 63 λ - 90$

ステップ 5.5.8

$- 14 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- 1$ を $- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$- 1$ を $- λ^{3}$ で因数分解します。

$- (λ^{3}) - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

ステップ 7.1.1.2

$- 1$ を $- 14 λ^{2}$ で因数分解します。

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - 63 λ - 90 = 0$

ステップ 7.1.1.3

$- 1$ を $- 63 λ$ で因数分解します。

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 90 = 0$

ステップ 7.1.1.4

$- 90$ を $- 1 (90)$ に書き換えます。

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

ステップ 7.1.1.5

$- 1$ を $- (λ^{3}) - (14 λ^{2})$ で因数分解します。

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

ステップ 7.1.1.6

$- 1$ を $- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ)$ で因数分解します。

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

ステップ 7.1.1.7

$- 1$ を $- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 (90)$ で因数分解します。

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90) = 0$

ステップ 7.1.2

有理根検定を用いて $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

ステップ 7.1.2.3

$- 3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 3$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.2.3.1

$- 3$ を多項式に代入します。

${(- 3)}^{3} + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

ステップ 7.1.2.3.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

ステップ 7.1.2.3.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 27 + 14 \cdot 9 + 63 \cdot - 3 + 90$

ステップ 7.1.2.3.4

$14$ に $9$ をかけます。

$- 27 + 126 + 63 \cdot - 3 + 90$

ステップ 7.1.2.3.5

$- 27$ と $126$ をたし算します。

$99 + 63 \cdot - 3 + 90$

ステップ 7.1.2.3.6

$63$ に $- 3$ をかけます。

$99 - 189 + 90$

ステップ 7.1.2.3.7

$99$ から $189$ を引きます。

$- 90 + 90$

ステップ 7.1.2.3.8

$- 90$ と $90$ をたし算します。

$0$

ステップ 7.1.2.4

$- 3$ は既知の根なので、多項式を $λ + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90}{λ + 3}$

ステップ 7.1.2.5

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ を $λ + 3$ で割ります。

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ステップ 7.1.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$63 λ$

$90$

ステップ 7.1.2.5.2

被除数 $λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$

ステップ 7.1.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

ステップ 7.1.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $λ^{3} + 3 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

ステップ 7.1.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

ステップ 7.1.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

ステップ 7.1.2.5.7

被除数 $11 λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

ステップ 7.1.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

ステップ 7.1.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $11 λ^{2} + 33 λ$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

ステップ 7.1.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$

ステップ 7.1.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

ステップ 7.1.2.5.12

被除数 $30 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

ステップ 7.1.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							+	$30 λ$	+	$90$

ステップ 7.1.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $30 λ + 90$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$

ステップ 7.1.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$
										$0$

ステップ 7.1.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$λ^{2} + 11 λ + 30$

ステップ 7.1.2.6

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ を因数の集合として書き換えます。

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 11 λ + 30)) = 0$

ステップ 7.1.3

因数分解。

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ステップ 7.1.3.1

たすき掛けを利用して $λ^{2} + 11 λ + 30$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.3.1.1

たすき掛けを利用して $λ^{2} + 11 λ + 30$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $30$ で、その和が $11$ です。

$5, 6$

ステップ 7.1.3.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((λ + 3) ((λ + 5) (λ + 6))) = 0$

ステップ 7.1.3.1.2

不要な括弧を削除します。

$- ((λ + 3) (λ + 5) (λ + 6)) = 0$

ステップ 7.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ + 3 = 0$

$λ + 5 = 0$

$λ + 6 = 0$

ステップ 7.3

$λ + 3$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$λ + 3$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 3 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$λ = - 3$

ステップ 7.4

$λ + 5$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$λ + 5$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 5 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$λ = - 5$

ステップ 7.5

$λ + 6$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.5.1

$λ + 6$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 6 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$λ = - 6$

ステップ 7.6

最終解は $- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = - 3, - 5, - 6$

線形代数 例

線形代数例